将几何关系代入，上面的方程可进一步表示为：T MCF， WCF = 1 0 1 P X 0 1 P Y 0 - 1 0 P Z 0 1 C 1 C 2 - C 1 S 2 S 1 d 2 S 1 + a 1 C 1 S 1 C 2 - S 1 C 2 C 1 d 2 C 1 + a 1 S 1 S 2 C 2 0 1 = C 1 C 2 - C 1 S 2 S 1 d 2 S 1 + a 1 C 1 + P X S 2 C 2 0 P Y - S 1 C 2 - S 1 S 2 C 1 d 2 C 1 - a 1 S 1 + P Z 0 1（2）式中： C i = cos（i） ， S i = sin（i）， i = 1， 2，i < - i，+ i >而- i，+ i为转台极限转角。
1. 2可加工条件对于一个刀轴向量（ t），可加工表面（ S t）是指刀具在转角极限（i，i）和行程极限（ L -， L +，L = X ， Y， Z）给出的加工限制范围内不与其他表面或夹具发生干涉。
设用半径为R的球头铣刀加工后的表面为S （ u， w ），则应能生成一组作为表示刀具中心移动位置的刀位（ CL ）数据。假设该刀位数据都经过干涉检查，则刀位数据CL j， j < 1， N >在刀具移动范围内应能完全避免干涉。
可见性条件：（a）显示了两个刀具向量以及由这两个刀轴所能加工的相应范围。显然，可加工性与刀轴向量到刀位点的可见性有关。用t j表示始于CL j的刀具向量，那么，如果t j不与零件侧表面（ S（ u， w ））相贯，则CL j可由刀轴方向t j看到。
这样可以给出以下可见性条件：t j S（ u， w ） =（ 3）当然，实际用CAD分析干涉问题还要考虑刀具直径的影响。显示了一条由刀位连线（ CE j = CL j CL j + 1）列表数据表示的刀位路径的可见性。此外还应注意刀杆是否会与零件其他表面及夹具碰撞，还要注意机床的行程限制和俯仰转台转角的限制。
由可加工条件看，可能会有多于1个的刀轴向量满足加工条件，表面a可以由刀轴1加工也可由刀轴2加工，而表面b只能由刀轴2加工。由于刀轴方向由转台装置获得，所以应使刀轴设置数*少以减小总循环时间。设S t是可以由刀轴t加工的表面，那么整个表面应当被S t的并集所覆盖t < 1， N t > ，即S （ u， w）N t t = 1 S t（4）式中N t是刀轴数（或零件表面元设置数） .2划分加工空间建立刀轴向量为分析不同曲面元所对应的刀轴方向，可将由回转台回转极限限定的刀具相对移动范围离散，以此确定刀轴向量。为此可用等距点在单位球面上离散刀具移动范围，沿经度线将球面等分成条环带，然后将环带a进一步分解成a个点，取d = / （ + 1）作为两点间距离，则a = < （2sin（ a/ （ + 1） ）/（？/ （ + 0. 5））） + 0. 5>（ 5）应适当确定值以使间距满足求解精度。于是刀具轴线可表示为：t i = OQ a， b a < 1， > b < 1， a >（6）式中： O是球心， a和b是与回转i相对应的标记。
上式只是从求解精度考虑的空间划分。为了*终定下刀具向量，还应考虑回转台的分度精度。为此还需用可由回转台得到的角度值修改刀具向量，即a）按t i（（6）式）计算回转角（i1，i 2）； b）取可由回转台得到的*接近值（i2）相适应的t i替换t i。
后面的工作既是找出可由各刀轴t i加工的所有CL刀位边线，按区域生成刀具轨迹，这在一般的CAM软件包上都能容易实现。考虑到零件实际形状，刀轴的设置数可能还会减少。
3结论本文介绍了利用较少轴CNC机床执行5轴加工的一种方法。少轴加工有其内在的局限性，因为刀具方向是靠俯仰台不连续运动达到的，这导致设置的时间增加，且在刀具路经不连续处的加工表面不平滑。在进行少轴加工时要设法限制这些问题，这使刀具路径规划问题比纯5轴加工要复杂的多，但其加工环境容易实现，因此对那些中小企业解决5轴零件的加工问题有一定的参考意义。
